Вопрос

Можно ли писать Джэймс через букву э? Спасибо.

Ответ

Имена, фамилии не переводятся- они транслитерируются.
Если это имя человека у которого в российском свидетельстве о рождении, или в паспорте или в свидетельстве о смене фамилии имя написано Джэймс, то не только можно, но и обязательно нужно именно так писать.
Если у человека имя James, Вы переводите на русский язык его документы и он- король, то традиционно пишут Яков или Иаков.
Если же он не царских кровей, например James Bond, то агент 007 обычно представляется "Бонд, Джеймс Бонд."
Но если у него в визе или в других документах, нотариально переведенных на русский язык ранее, написано Джэймс, то такое же написание следует сохранить и во всех последующих переводах,
Джеймс и Джэймс будут разные люди, и Джеймс не сможет получить деньги в банке со счета, открыто Джэймсом.
Переводят и Джимми, но это целенаправленная игра- например в советских газетах писали "Леонид Ильич Брежнев встеретился с Джимми Картером".
Какому то умнику пришло в голову таким образом подчеркнуть величие главы СССР и уменьшить значение президента США.
Интересно, помогло ли?